от придумав задачку

[malyj_gorgan]

Оце ще почитав розсилки з Куори і придумав задачку: знайти дійсні розв'язки рівняння a^x = x.

Для виродженого випаку, коли a > 1, але розв'язок один, це просто, звідтам же ясно, де дійсних розв'язків нема. Для a = 1 все ясно. А от для інших випадків щось не придумується. Печалька.

Comments

[juan_gandhi]

Без разницы, >1 или <1, там же симметрично относительно диагонали.

[ichthuss]

А що тут придумувати? Наскільки я розумію, аналітичного рішення тут немає (окрім вироджених випадків), але проаналізувати розміщення коренів нескладно.

x != 0
a != 0

Для 1 < a < exp(exp(-1)) (якщо я не наплутав) буде два розв'язки, для a = exp(exp(-1) = один, для більших - 0. Для 0 < a < 1 - один розв'язок. Для від'ємних a маємо:

exp(ln(a)*x) = x
(pi*i + ln(|a|))*x = 2*pi*i*n + ln(x)
Беремо уявну частину:

при x > 0:
pi*i*x = 2*pi*i*n, отже, x = 2n, n є N.
a^(2n)=2n - тобто корені будуть такі ж самі, як і для |a|, але лише при парних додатних x.

при x < 0:
pi*i*(x-1) = 2*pi*i*n, отже, x = - 2n - 1, n є N.
a^(-2n-1)=-2n-1
|1/a|^(2n+1)=2n+1 - тобто корені будуть протилежні кореням для |1/a|, але лише при непарних x.

[malyj_gorgan]

> ... симметрично относительно диагонали.
???
не розумію, що симетрично. Для a менше і більше одиниці все дуже по-різному
Там внизу ichtuss розписав основні варіанти рішень.

[juan_gandhi]

О, я что-то перепутал спросонок, тьфу.

[malyj_gorgan]

Дякую
Я теж десь до цього місця дійшов -- області розв'язків і вироджені випадки прості, а далі загруз: не знаю, як довести, що точно нема аналітичних розв'язків.
З від'ємними a можна не перейматися, смисл гадати дійсні розв'язки функції, визначеної лише на цілих числах (ок, якщо дуже захотіти, можна визначити на деяких раціональних)?

[ichthuss]

Швидкий пошук дав W-функцію Ламберта, через яку можна виразити розв'язки подібних рівнянь. Сама ця функція, наскільки я розумію, не може бути виражена аналітично, окрім як через розв'язання поліноміально-експоненційного рівняння.

[malyj_gorgan]

Ох вже мені ці спеціальні функції
В аспірантурі ходив на курс спецфункцій від світила науки в цій галузі, щось зовсім трошки нахапався і одразу забув, а добре вивчив лише одне: існують гіганти і генії, вони настільки вищі за нас інтелектуально, що треба змиритися, що ми, в кращому разі, середнячки, не вимахуватися, а реалізувати себе в речах типу анонімних інтернет срачів.